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高校生教室ニュース

「偏差値」ってどうやって出されているの?

2018.04.27

皆さんは、「偏差値」がどういうものか、知っていますか?

「50が平均」「とりあえず高いとすごい」くらいのイメージはあるけど、どうやって計算されているのか知らない、という人は多いでしょう。存在は知っていても実態は謎のこの偏差値、実は現在の数学Ⅰ「データの分析」で扱っている範囲でほぼ理解できる数字なのです。

では、偏差値を知るために、まずはその周辺の知識をおさらいしてみましょう。

①『平均値』

平均値は(各データの値の総計)÷(データの個数)で求めることができます。

②『分散』

分散は(各データの値と平均値との差の平方の総計)÷(データの個数)で求めることができます。

③『標準偏差』

標準偏差は分散の平方根のうち、正の値です。
と、言葉で説明をしたところで分かりにくいと思うので、下記のサンプルを用いて説明します。

上記のグラフは、架空の100点満点のテストを40人に受けてもらった結果です。
定期テストだと先生に呼び出しを受けそうな人がかなり見受けられますが、そこは架空のテスト、ということで気にしないでおきましょう。

①平均点
平均点は全部の点数の合計を人数で割ると出てきます。
サンプルの場合は、(65+54+18+55+…中略…+54)÷40=1792÷40=44.8点となります。

②分散
分散の求め方が一見して分かりにくいので、細かく説明していきます。
受験者aの点数は65点なので、平均点との差は、65-44.8=20.2です。
これを2乗すると、408.04になります。
この計算を各データについて行い、データ数で割ると、
(408.04+84.64+718.24+104.04+…中略…+84.64)÷40=23396.4÷40≒584.7となります。

③標準偏差
先述の通り、標準偏差は分散の平方根のうち、正の値をとります。
計算法については割愛します(物理のテキストには「開平計算」という計算法が載っているものがあります)が、値としては約24.18です。
これで偏差値を求めるために必要な数字が揃いました。

④偏差値
では本題。偏差値とは、データを平均50、標準偏差10の正規分布に当てはめたときの各データの値を指します。
と、一言でまとめるとこれまた訳が分からないと思います。実際、正規分布という言葉は数学Bの「確率分布と統計的な推測」に登場する用語です。
(あれ、数学Bやったけど、そんな話聞いたことないぞ、という方、安心してください。教科書には載っていますが、大半の学校では触れていないし、大学入試の試験範囲からも外されています。
多くの大学入試の出題範囲に「数学B(数列・ベクトル)」や「数学B(数・ベク)」と書いてあるのはこの「確率分布と統計的な推測」が含まれていないことを示すためなのです。)
用語はともかく、実際の計算方法は、「偏差値={(各データ)-(平均)}÷(標準偏差)×10+50」となります。
では、先ほどの例の受験者aの偏差値を求めてみましょう。
平均との差は20.2点でしたので、これを標準偏差24.18で割ると、20.2÷24.18=0.8354…≒0.84。
これを10倍した8.4に50を足すと、この受験者の偏差値は58.4であるとわかります。

改めてまとめますと、

・平均点が偏差値50
・標準偏差1つ分で偏差値は±10される

ことを覚えておくとおおよその計算ができます。
テストに対する標準偏差はデータとして公開されているものもあります(例えばセンター試験は平均点や標準偏差のデータがwebで参照できます)ので、気になる方は調べてみると面白い発見があるかもしれません。

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