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定数付き二次関数の最大最小問題を攻略する!①(関数に定数がある問題編)

2018.05.12

高校数学における最初の壁とも言える二次関数。
その中でも私の経験上、みんなが行き詰まる可能性の非常に高い「定数付き二次関数の最大最小問題」についての攻略法を今回はお伝えします。

まず、「定数付き二次関数」とは何でしょうか。例を以下に示します。

例1)y=x²+6x-a(-4≦x≦1)

例2)y=x²-2ax+2a+1(-1≦x≦3)

例3)y=x²-4x-3(a≦x≦a+2)

関数は基本として変数xと変数yの関係を式で表します。二次関数の場合、yはxの二次式で表されますが、ここにxでもyでもない定数(今回の例ではa)が入ってくるものを定数付き二次関数と呼びます。
上に例を3つ示しましたが、問題の難易度としては「例1<例2≦例3」と段々難しくなっています。例1については定数のない問題と大差ないので、例2が今回の解説のメインとなります。
長くなりますので、例3については次回の数学勉強法の更新で解説します。

〇例1の解法

例1はaに-2から3までの値を1刻みで代入して表示すると下の図のようになります。

いずれのaの値についても、x=-3のときyが最小、x=1のときyが最大となることに変わりはありません。
関数の右辺を平方完成すると、
y=x²+6x-a
 =(x+3)²-a-9
となるため、この関数はx=-3のとき最小値-a-9を、-4≦x≦1の範囲においてx=-3から一番遠いx=1のとき、最大値-a+7をとるわけです。

 

 

 

〇例2の解法

この問題は場合分けをしなければなりません。

まず、例2の式にa=-2から4までを0.5刻みで代入したものを下の図に示します。

頂点の移動が上下だけだった例1と違い、aの値が増加するにつれてグラフの頂点が左右にも移動していることがわかります。

その理由は関数の右辺を平方完成するとわかります。

y=x²-2ax+2a+1

 =(x-a)² -a²+2a+1

となり、この関数の頂点の座標は(a , -a²+2a+1)であることがわかります。このように、頂点のx座標に定数aが入り込んでいるため、aの値によって「関数のどこが-1≦x≦3における最大値(および最小値)になるのか」が変わってきます。これが場合分けをしなければならない理由です。

 

 

ケース1:a<-1のとき

aが-1に到達する前の段階では、頂点はグラフの青線で示された定義域の左側にいます。従って、定義域内ではグラフはxが増加するにつれ、yは単調増加(常に右上がり)になっています。

このためこのケースでは、

x=-1で最小値、x=3で最大値を取ります。

具体的な値は関数にそれぞれのxを代入して求めましょう。

x=-1のとき、y=(-1)²-2a×(-1)+2a+1=4a+2

x=3のとき、y=3²-2a×3+2a+1=-4a+10

以上より答えは、

 

x=-1で最小値4a+2、x=3で最大値-4a+10

 

となります。

 

 

ケース2:-1≦a<1のとき

aが-1を超えると、定義域内に頂点が入ってきます。(※1)

このケースでは、頂点に到達するまではxが増加するにつれyが減少し、頂点に到達した後はxが増加するにつれyも増加していきます。

また、-1≦a<1の状況では頂点は定義域の中央(x=1)よりも左側にあるため、x=-1よりもx=3の方が頂点より遠くなります。そのためこのケースでは、

x=a(頂点)で最小値、x=3で最大値を取ります。

x=3についてはケース1で出した値を用います。

x=aを代入すると、y=a²-2a×a+2a+1=-a²+2a+1(※2)

以上より答えは、

 

x=aで最小値-a2+2a+1、x=3で最大値-4a+10

 

となります。

 

 

ケース3:a=1のとき

増加、減少の傾向についてはケース2と変わりませんが、a=1のときは頂点が定義域の中央にあるため、x=-1のときとx=3のときの値が一致します。そのためこのケースでは、

x=a(頂点)で最小値、x=-1、3で最大値を取ります。

yの値は以前に出した値を用いるのですが、このケースはaの値が決まっているため、aも代入してしまいます。

x=aのとき、y=-a²+2a+1にa=1を代入して、y=-1²+2×1+1=2

x=-1のとき、y=4a+1にa=1を代入して、y=4×1+2=6

x=3のときはx=-1と同じ値なので省略

以上より答えは、

 

x=aで最小値2、x=-1、3で最大値6

 

となります。

 

 

ケース4:1<a<3のとき

増加、減少の傾向についてはケース2と変わりませんが、1<a<3の状況では頂点は定義域の中央(x=1)よりも右側にあるため、x=3よりもx=-1の方が頂点より遠くなります。そのためこのケースでは、

x=a(頂点)で最小値、x=-1で最大値を取ります。

yの値は以前に出した値を用いると、以上より答えは、

 

x=aで最小値-a²+2a+1、x=-1で最大値4a+2

 

となります。

 

 

ケース5:3≦aのとき

aが3を超えると、頂点がグラフの青線で示された定義域の右側に行きます。従って、定義域内ではグラフはxが増加するにつれ、yは単調減少(常に右下がり)になっています。

このためこのケースでは、

x=3で最小値、x=-1で最大値を取ります。

yの値は以前に出したものを用いると、答えは、

 

x=3で最小値-4a+10、x=-1で最大値4a+2

 

となります。

 

 

二次関数だけに限らず、定数を交えた関数や方程式の問題は多くの生徒にとって悩みの種となっていることと思いますが、図に示したようなaの値によるグラフの変化のイメージを頭の中に入れておくと、そういった問題を考える際の助けになるので是非覚えておきましょう。

 

こちらへ掲載する解説はよくある問題のよくある解法に絞ったものとなっております。当塾の授業ではより多岐にわたる問題への対応を、より丁寧に指導しております。勉強で困ったことがありましたらお気軽にお問い合わせください。

 

 

 

※1:本来、定義域の境界線上はどちらのケースにも当てはまるのですが、場合分けの領域の表記法として、~~以上~~未満の形がよく用いられるため、今回の問題においてはa=-1をケース2、a=3をケース5に含めております。

 

※2:頂点で最小値を取ると分かっているので、頂点のy座標をそのまま用いても構いません。

 

 

2018/5/23更新:

第2弾が掲載されました!こちらから閲覧できます。

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