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定数付き二次関数の最大最小問題を攻略する!②(定義域に定数がある問題編)

2018.04.25

オンライン個別指導!

高校数学における最初の壁とも言える二次関数。
その中でも私の経験上、みんなが行き詰まる可能性の非常に高い「定数付き二次関数の最大最小問題」についての攻略法を今回はお伝えします。

こちらの記事は「定数付き二次関数の最大最小問題」攻略の第二弾です。
第一弾はこちらを参照してください。

では、前回示した例3について、今回は解説します。
例3)y=x²-4x-3(a≦x≦a+2)

〇例3の解法
例3は関数に定数は含まれていませんが、定義域の方に定数が含まれています。
そのため、aの値が変化するにつれ、定義域が変化するようになっています。
例2と同様に、a=-2から4までを0.5刻みで代入したものが上の図になります。
この関数についても平方完成すると、
y=x²+4x-3
=(x+2)²-4-3
=(x+2)²-7
となります。

関数の側は固定されていますが、定義域が動くことによって最大値、最小値を取る場所が変化するため、この問題も前回の例2と同様、場合分けをする必要があります。

ケース1:a<0のとき
aが0に到達する前の段階では、グラフの青線で示された定義域はすべて頂点の左側にいます。従って、定義域内ではグラフはxが増加するにつれ、yは単調減少(常に右下がり)になっています。
このためこのケースでは、
x=a+2で最小値、x=aで最大値を取ります。
具体的な値は関数にそれぞれのxを代入して求めましょう。
x=a+2のとき、y=(a+2)²-4(a+2)-3=a²+4a+4-4a-8-3=a²-7
x=aのとき、y=a²-4a-3
以上より答えは、

x=a+2で最小値a²-7、x=aで最大値a²-4a-3

となります。

ケース2:0≦a<1のとき
aが0を超えると、定義域内に頂点が入ってきます。(※1)
このケースでは、頂点に到達するまではxが増加するにつれyが減少し、頂点に到達した後はxが増加するにつれyも増加していきます。
また、0≦a<1の状況では頂点は定義域の中央(x=a+1)よりも右側にあるため、x=a+2よりもx=aの方が頂点より遠くなります。そのためこのケースでは、
x=2(頂点)で最小値、x=aで最大値を取ります。
x=aについてはケース1で出した値を用います。
x=2を代入すると、y=2²-4×2-3=-7(※2)
以上より答えは、

x=2で最小値-7、x=aで最大値a²-4a-3

となります。

ケース3:a=1のとき
増加、減少の傾向についてはケース2と変わりませんが、a=1のときは頂点が定義域の中央にあるため、x=aのときとx=a+2のときの値が一致します。そのためこのケースでは、
x=2(頂点)で最小値、x=a、a+2で最大値を取ります。
yの値は以前に出した値を用いるのですが、このケースはaの値が決まっているため、aも代入してしまいます。
x=2のとき、y=-7
x=aのとき、y=a²-4a-3にa=1を代入して、y=1²-4×1-3=-6
x=a+2のときはx=aと同じ値なので省略
以上より答えは、

x=2で最小値-7、x=a、a+2で最大値-6

となります。

ケース4:1<a<2のとき
増加、減少の傾向についてはケース2と変わりませんが、1<a<2の状況では頂点は定義域の中央(x=a+1)よりも右側にあるため、x=aよりもx=a+2の方が頂点より遠くなります。そのためこのケースでは、
x=2(頂点)で最小値、x=a+2で最大値を取ります。
yの値は以前に出した値を用いると、以上より答えは、

x=2で最小値-7、x=a+2で最大値a²-7

となります。

ケース5:2≦aのとき
aが2を超えると、グラフの青線で示された定義域が頂点の右側に行きます。従って、定義域内ではグラフはxが増加するにつれ、yは単調増加(常に右上がり)になっています。
このためこのケースでは、
x=aで最小値、x=a+2で最大値を取ります。
yの値は以前に出したものを用いると、答えは、

x=aで最小値a²-4a-3、x=a+2で最大値a²-7

となります。

前回の例2の解説と見比べていただけると、解説の大筋はどちらも大差ないことがわかると思います。二次関数については最大値および最小値になりうる場所は、「定義域の両端」と「頂点」以外にあり得ません。極言すると、この3か所の値を検討すればよいのです。ただし、頂点が常に定義域に含まれているとは限りませんので、そこについては注意が必要です。

こちらへ掲載する解説はよくある問題のよくある解法に絞ったものとなっております。当塾の授業ではより多岐にわたる問題への対応を、より丁寧に指導しております。勉強で困ったことがありましたらお気軽にお問い合わせください。

※1:本来、定義域の境界線上はどちらのケースにも当てはまるのですが、場合分けの領域の表記法として、~~以上~~未満の形がよく用いられるため、今回の問題においてはa=0をケース2、a=2をケース5に含めております。

※2:頂点で最小値を取ると分かっているので、頂点のy座標をそのまま用いても構いません。

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